C* 대수 이론에서, 상태(狀態, 영어: state)는 C* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 “확률 측도”로 여길 수 있다. 양자역학의 밀도 행렬을 추상화한 개념이다.
겔판트-나이마르크-시걸 구성(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, 영어: Gelfand–Naimark–Segal construction, 약자 GNS 구성)에 따라, 상태들은 C* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다.
(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수
위의 복소수 선형 변환
![{\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8775a9baebf21bded8e11b9d153cbbd22e3415)
가 다음 조건을 만족시킨다면, 상태라고 한다.[1]:27, §1.6[2]:107, Definition 6.2
- 임의의
에 대하여,
이다.
이다.
C* 대수
의 상태들의 공간을
라고 하자 (
는
의 연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 순수 상태(純粹狀態, 영어: pure state)[1]:29, §1.6, 아닌 상태들을 혼합 상태(混合狀態,영어: mixed state)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)
*-표현[편집]
C* 대수
의 *-표현(*-表現)
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
는 복소수 힐베르트 공간이다.
는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle \rho (a+b)=\rho (a)+\rho (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9324ca1a42a77b2e6c2b12e46bc1f129ee44e48)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle \rho (ab)=\rho (a)\rho (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d0451160495910f0f0cd297256dae813302aa6)
- 임의의
및
에 대하여, ![{\displaystyle \rho (\lambda a)=\lambda \rho (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9abfa1b9116c5641a6f2e5e2b61e565a31ffb6d3)
- 임의의
에 대하여,
(우변의
는 에르미트 수반)
(항등 함수)
의 *-표현
에 대하여, 만약
가 다음 조건을 만족시킨다면 순환 벡터라고 한다.[1]:29, §1.6
는
의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.
기초적 성질[편집]
복소수 대합 대수
위의 상태
가 주어졌을 때, 에르미트 형식
![{\displaystyle B_{f}\colon A\times A\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b37e7594d4f5e0505bcd88d2dbe219d5a03a70d)
![{\displaystyle B_{f}\colon (a,b)\mapsto f(a^{*}b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dffdb4559f577b5a8638e8b37ea5f877dff3c04)
을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식
![{\displaystyle |B_{f}(a,b)|^{2}\leq B_{f}(a,a)B_{f}(b,b)\qquad \forall a,b\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8475b9f0e02aef645a65dad6f41e97f7209e30)
가 성립한다. 즉,
![{\displaystyle |f(a^{*}b)|^{2}\leq f(a^{*}a)f(b^{*}b)\qquad \forall a,b\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c3d9a2e2b155ed914e61cba03969499528772d)
이다.
C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다.[1]:28, Proposition 1.6.2 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.
증명:
우선, 다음 보조 정리를 증명하자.
- ① C* 대수
의 자기 수반 원소
가
이라면,
인 자기 수반 원소
가 존재한다.
- ①의 증명:
로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C* 대수
를 생각하자. 이는 가환 C* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간
에 대한
로 표현되며, 이 표현 아래
는 치역이
의 부분 집합인 연속 함수
에 대응된다. 이 경우,
에 대응되는 원소가
이다.
임의의 C* 대수
위의 임의의 상태
를 생각하자.
이므로
이다. 즉,
임을 보이면 족하다.
임의의
에 대하여,
이라고 하자. 이제
임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여
![{\displaystyle |f(a)|^{2}\leq f(a^{*}a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5316c4018ae8cb918333edc5a6c8ef6265045f08)
이다. 즉,
, 즉
임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- C* 대수
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
- 유계 작용소
![{\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8775a9baebf21bded8e11b9d153cbbd22e3415)
또한, 다음이 성립한다고 하자.
- 임의의 자기 수반 원소
에 대하여, ![{\displaystyle f(a)\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ed6a41ce2c4b57ed548c5e2fe54aac235bb5ca)
그렇다면,
는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.
![{\displaystyle f=\alpha _{+}f_{+}-\alpha _{-}f_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1703bfb33255fee2d9c46bf4eb0f9bda3c0a8a55)
여기서
는
위의 두 상태이다.
는 음이 아닌 두 실수이며,
이다.
정규 상태[편집]
폰 노이만 대수
위의 상태
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 정규 상태(正規狀態, 영어: normal state)라고 한다.[3]:§12.6, Theorem 12.14
는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
- 임의의 *-표현
에 대하여,
가 성립하는 대각합류 작용소
가 존재한다. (이 경우,
를
의 밀도 행렬이라고 한다.)
겔판트-나이마르크-시걸 구성[편집]
겔판트-나이마르크-시걸 구성에 따르면, 다음이 성립한다.
- ① C* 대수
의 상태
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현
및 그 속의 순환 벡터
가 존재한다.[1]:28, Theorem 1.6.3
![{\displaystyle \forall a\in A\colon f(a)=\langle \rho (a)v,v\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4b7fef5a5b21ff1c51bc8db8dacb20b8242d5b)
- ② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현
,
에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환
이 존재한다.[1]:31, Exercise 1.6.B
![{\displaystyle \forall a\in A\colon \rho '(a)=U\rho (a)U^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd74083f9f774ffa7aad0f779c58e944ecafa01)
![{\displaystyle \forall a\in A\colon \rho '(a)v'=U\rho (a)v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4b3dd5cf4ff6294db85d1041e372111528d5a0)
즉, C* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다.
구성:
구체적으로, 상태
에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다.[4]:73, Theorem I.2.14 우선, 양쪽 아이디얼
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}=\{a\in A\colon f(a^{*}a)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260d2a299bd7f27fc04f101616d329d99bb36e57)
를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은
![{\displaystyle {\mathcal {H}}={\overline {A/{\mathfrak {I}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b750975647e625e42260051478b278349c51fb48)
이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.
![{\displaystyle \langle a+{\mathfrak {I}},b+{\mathfrak {I}}\rangle _{\mathcal {H}}=f(ab)\qquad \forall a,b\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c729dccfb53996332e2af20ba36605e0e99dc94a)
그 위의 *-표현은 다음과 같다.
![{\displaystyle \rho \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c1b932bc893b9a243a896ef7d7d76312787ea8)
![{\displaystyle \rho \colon a\mapsto (b+{\mathcal {I}}\mapsto ab+{\mathfrak {I}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0ef8c5058947c02acc89ef1eb4eb47300e845)
그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.
![{\displaystyle v=1_{A}+{\mathfrak {I}}\in {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2d6a43777ab673a9bda4ed476aa8ecb83a78ea)
순수 상태 ⇔ 기약 *-표현[편집]
C* 대수
의 *-표현
가 다음 두 조건을 만족시킨다면 기약 *-표현(영어: irreducible *-representation)이라고 한다.[1]:16, Exercise 1.3.D
![{\displaystyle {\mathcal {H}}\neq \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6da52e9b712660e0d51270ead67803dbda7719)
- 임의의 닫힌 부분 벡터 공간
에 대하여, 만약
라면,
인
가 존재한다.
이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.[1]:30, Theorem 1.6.6
임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간
및 모든
복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수
를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬
를 생각하자.
![{\displaystyle \operatorname {tr} \rho =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af79f78112b868c5b4fb5217044498ae7731572a)
![{\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ca0e2bc42e29ba358c85e267917635a79034dd)
또한,
의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자.
그렇다면, 함수
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (N,N;\mathbb {C} )\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b247044a6897d38f3d902a114010d03d5992caa)
![{\displaystyle O\mapsto \operatorname {tr} (\rho O)=\operatorname {tr} (O\rho )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b387a0f5c110b3dbac52f74d7eec56f2e3c89bc8)
는
위의 상태를 이룬다.
이 가운데 순수 상태들은
(
는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우
![{\displaystyle \phi _{|v\rangle \langle v|}\colon O\mapsto \operatorname {tr} (O|v\rangle \langle v|)=\langle v|O|v\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18df509204378ce7fa165ac3d47af8cf9bf43f9)
이다.
상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.
겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나,[5] 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸(영어: Irving Ezra Segal)이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.[6]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]