감마 함수의 역수
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수학에서 감마 함수의 역수는 감마 함수 Γ(z)에 역수를 취한 함수이다.
감마 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이고 영점이 없으므로 그 역수는 전해석 함수이다.
이 함수는 감마 함수를 수치 근사하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다.
카를 바이어슈트라스는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 바이어슈트라스의 곱 정리에 사용했다.
무한곱 전개[편집]
감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 z에서 성립하며, γ는 오일러-마스케로니 상수이다.
테일러 급수[편집]
여기서 γ 는 오일러-마스케로니 상수이다. n > 2일 때 zn 항의 계수 an은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다.[2][3] ζ 는 리만 제타 함수이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다.[3]
처음 30개의 항의 값은 다음과 같다.
n | an |
---|---|
1 | +1.0000000000000000000000000000000000000000 |
2 | +0.5772156649015328606065120900824024310422 |
3 | −0.6558780715202538810770195151453904812798 |
4 | −0.0420026350340952355290039348754298187114 |
5 | +0.1665386113822914895017007951021052357178 |
6 | −0.0421977345555443367482083012891873913017 |
7 | −0.0096219715278769735621149216723481989754 |
8 | +0.0072189432466630995423950103404465727099 |
9 | −0.0011651675918590651121139710840183886668 |
10 | −0.0002152416741149509728157299630536478065 |
11 | +0.0001280502823881161861531986263281643234 |
12 | −0.0000201348547807882386556893914210218184 |
13 | −0.0000012504934821426706573453594738330922 |
14 | +0.0000011330272319816958823741296203307449 |
15 | −0.0000002056338416977607103450154130020573 |
16 | +0.0000000061160951044814158178624986828553 |
17 | +0.0000000050020076444692229300556650480600 |
18 | −0.0000000011812745704870201445881265654365 |
19 | +0.0000000001043426711691100510491540332312 |
20 | +0.0000000000077822634399050712540499373114 |
21 | −0.0000000000036968056186422057081878158781 |
22 | +0.0000000000005100370287454475979015481323 |
23 | −0.0000000000000205832605356650678322242954 |
24 | −0.0000000000000053481225394230179823700173 |
25 | +0.0000000000000012267786282382607901588938 |
26 | −0.0000000000000001181259301697458769513765 |
27 | +0.0000000000000000011866922547516003325798 |
28 | +0.0000000000000000014123806553180317815558 |
29 | −0.0000000000000000002298745684435370206592 |
30 | +0.0000000000000000000171440632192733743338 |
의 근사공식은 다음과 같다.[3]
여기서 는 람베르트 W 함수의 -1번째 분지이다.
이상적분[편집]
양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 프랑세즈-로빈슨 상수라고 한다.
또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다.[4]
같이 보기[편집]
참고자[편집]
- ↑ Weisstein, Eric W. “Gamma function”. 《mathworld.wolfram.com》 (영어). 2021년 6월 15일에 확인함.
- ↑ Wrench, J.W. (1968). “Concerning two series for the gamma function”. 《Mathematics of Computation》 22 (103): 617–626. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4. and
Wrench, J.W. (1973). “Erratum: Concerning two series for the gamma function”. 《Mathematics of Computation》 27 (123): 681–682. doi:10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9. - ↑ 가 나 다 Fekih-Ahmed, L. (2014). “On the power series expansion of the reciprocal gamma function”. 《HAL archives》.
- ↑ Henri Cohen (2007). 《Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 240. doi:10.1007/978-0-387-49894-2. ISBN 978-0-387-49893-5. ISSN 0072-5285.