남 방정식

이론물리학에서 남 방정식(Nahm方程式, 영어: Nahm equation)은 SU(2) 자기 홀극을 나타내는 연립 1차 상미분 방정식이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• 1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) $C$. 보통 $C=(0,2)$ (길이 2의 열린 선분) 또 는$C=\mathbb {R} /\ell \mathbb {Z}$ (길이 $\ell$의 원)으로 잡는다.

그렇다면, 남 방정식의 변수는 $C$ 위의 3개의 함수

${\vec {T}}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(C,{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {R} ^{3})$

및 $C$ 위의 (자명한) $\operatorname {U} (n)$-주다발의 주접속

$T_{0}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(C,{\mathfrak {u}}(n))$

이다. 즉, 이를 통하여 $C$ 위의 공변 미분

$D={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+[T_{0},-]$

을 정의할 수 있다.

남 방정식은 다음과 같다.

$DT_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}[T_{j},T_{k}]$

여기서

• $\epsilon _{ijk}$는 레비치비타 기호이다.
• $[-,-]$는 ${\mathfrak {g}}$의 리 괄호이다.

즉, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T_{1}+[T_{0},T_{1}]=[T_{2},T_{3}]$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T_{2}+[T_{0},T_{2}]=[T_{3},T_{1}]$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}T_{3}+[T_{0},T_{3}]=[T_{1},T_{2}]$

이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다.

자기 홀극의 경계 조건

$\mathbb {R} ^{3}$ 위의 보고몰니 방정식의 자기 홀극 해를 구성하기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

• ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n)$은 $n\times n$ 반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는 $n\times n$ 행렬의 교환자이다.
• $C=(0,2)$는 길이 2의 열린구간이다.
• $T$는 해석 함수이다.
• $z\to 0$ 또는 $z\to 2$에서, $T_{i}$는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$의 $n$차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수

$T_{i}(z)=T_{i}^{(-1)}z^{-1}+T_{i}^{(0)}+T_{i}^{(1)}z+\dotsb =T_{i}^{\prime (-1)}(z-2)^{-1}+T_{i}^{\prime (0)}+T_{i}^{\prime (1)}(z-2)+\dotsb$

에서,

$[T_{i}^{(-1)},T_{j}^{(-1)}]={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}T_{k}^{(-1)}$

$[T_{i}^{\prime (-1)},T_{j}^{\prime (-1)}]={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}T_{k}^{\prime (-1)}$

이다.

칼로론의 경계 조건

남 방정식을 통하여 칼로론을 구성할 수도 있다. 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

• $C=\mathbb {R} /\ell \mathbb {Z}$는 둘레 $\ell$의 원이다.
• $C$에는 특별한 점 $z_{1},z_{2},\dotsc ,z_{p}\in C$이 주어진다.
• $[z_{a},z_{a+1}]$에서, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}(n_{i})$이다.
• $T_{i}$들이 작용하는 복소수 $n$차원 에르미트 벡터 다발 $E$는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. $[z_{a},z_{a+1}]$에서의 다발을 $E^{a}$라고 하자. 특별한 점 $k_{a}$에서, $E^{a-1}$과 $E^{a}$의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
  • 만약 $n_{a-1}<n_{a}$라면, 단사 사상 $E^{a-1}|_{z_{a}}\to E^{a}|_{z_{a}}$
  • 만약 $n_{a-1}>n_{a}$라면, 단사 사상 $E^{a}|_{z_{a}}\to E^{a-1}|_{z_{a}}$
  • 만약 $n_{a-1}>n_{a}$라면, 전단사 사상 $E^{a-1}|_{z_{a}}\to E^{a}|_{z_{a}}$
• $T_{i}^{a}$는 해석 함수이며, 각 특별한 점 $z_{a}$에서 $T_{i}$는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
  • $n_{a-1}<n_{a}$일 때: $z\approx z_{a}$에서 다음이 성립한다.

    $T^{a}(z)={\begin{pmatrix}T^{a-1}(z)&{\mathcal {O}}((z-z_{i})^{(n_{a}-n_{a-1}-1)/2})\\{\mathcal {O}}((z-z_{a})^{(n_{a}-n_{a-1}-1)/2})&(z-z_{a})^{-1}R_{i}+{\mathcal {O}}(1)\end{pmatrix}}$

    • 여기서 유수 $R^{a}$는 ${\mathfrak {su}}(2)$의 기약 표현을 이룬다.
  • $n_{a-1}>n_{a}$일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
  • $n_{a-1}=n_{a}$일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.

성질

게이지 대칭

${\mathfrak {g}}$의 리 군이 $G$라면, 남 방정식과 그 경계 조건은 ${\mathcal {C}}^{\infty }(C,G)$의 게이지 변환을 갖는다.

만약 $C$가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여, $T_{0}=0$으로 놓을 수 있다. 그렇다면, 이 게이지 변환에서 $\operatorname {O} (n)$만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용

$T(z)\mapsto OT(z)O^{-1}\qquad (O\in \operatorname {O} (n))$

에 대하여 불변이다.

$T_{0}=0$ 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 $4n+n(n-1)/2$이며, 남은 게이지 변환 $\operatorname {O} (n)$에 대한 몫공간의 차원은 $4n$이다. 이는 n개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

럭스 쌍

남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉,

$A_{0}=-\mathrm {i} T_{1}+T_{2},\quad A_{1}=-2T_{3},\quad A_{2}=-\mathrm {i} T_{1}-T_{2}$

$A(t)=A_{0}+tA_{1}+t^{2}A_{2}$

$B(t)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}A_{1}+tA_{2}\equiv B_{0}+tB_{1}$

로 놓자. 여기서 $t$는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.

${\frac {\partial A(t)}{\partial z}}=[A(t),B(t)]$

즉, 양변을 $t$에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면,

${\frac {\partial }{\partial z}}A_{0}=[A_{0},B_{0}]={\frac {1}{2}}[A_{0},A_{1}]$

${\frac {\partial }{\partial z}}A_{1}=[A_{1},B_{0}]+[A_{0},B_{1}]=[A_{0},A_{2}]$

${\frac {\partial }{\partial z}}A_{2}=[A_{1},B_{1}]+[A_{2},B_{0}]=[A_{1},A_{2}]+{\frac {1}{2}}[A_{2},A_{0}]$

$0=[A_{2},B_{1}]$

가 된다.

이에 따라, 방정식

$\det(x-A(t,z))=0$

으로 정의되는 스펙트럼 곡선은 $\partial /\partial z$에 대하여 불변이다. 이 방정식은 $x$에 대한 $n$차 방정식이다. 여기서, $t$는 자연스럽게 사영 직선 $\mathbb {P} ^{1}$의 좌표로 생각할 수 있으며, $(x,t)$는 그 접공간 $\mathrm {T} \mathbb {P} ^{1}$ 위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다. 3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해서도 작도할 수 있으며, 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 나타낸다.

자기 홀극과의 관계

유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론이 다음과 같은 장들을 가진다고 하자.

• SU(2) 게이지장 $A$
• 딸림표현의 실수 스칼라장 $\phi$. 이는 퍼텐셜을 갖지 않는다.

(이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.) 이 경우, $\phi$의 퍼텐셜이 0이므로 임의의 진공 기댓값 $\langle \phi \rangle \in {\mathfrak {su}}(2)$를 줄 수 있다 (힉스 가지). 이에 따라서 게이지 군은 그 카르탕 부분군 U(1)으로 깨지고, 이에 따라 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극들이 존재하게 된다. $n\in \mathbb {Z}$개의 자기 홀극을 포함하는 상태들은 남 방정식을 통해 작도할 수 있다. 이러한 상태들의 모듈라이 공간의 차원은 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산할 수 있고, $4n$이다.

여기서 지수를 $i,j,\dots =1,2,3$이고, $a=1,\dots ,n$이라고 하자.

남 방정식의 해 $T^{i}(z)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다.

$\Delta ={\frac {d}{dz}}-(T^{i}-x^{i})\otimes \sigma _{i}$

이는 $(z,\mathbf {x} )$를 매개 변수로 갖는 $(n,1)\otimes (2\times 2)=2n\times n$ 행렬 $U^{a}{}_{i}{}^{j}(z,\mathbf {x} )$에 작용한다. 즉,

$U\colon (0,2)\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{n}\otimes \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )$

이다.

$U$가 $\Delta$의 여핵에 속한다고 하자. 즉, 그 수반 작용소 $\Delta ^{\dagger }$는

$\Delta ^{\dagger }=-{\frac {d}{dz}}-(T^{i}-x^{i})\sigma _{i}$

이므로,

$\Delta ^{\dagger }U=0$

인 $U$를 생각하자. 이러한 $U$를 찾으면, $\phi$와 $A$는 다음과 같다.

$\phi (\mathbf {x} )=\int _{0}^{2}z(U^{a})^{\dagger }(z;\mathbf {x} )U^{a}(z;\mathbf {x} )\,dz$

$\mathrm {i} A_{i}(\mathbf {x} )=\int _{0}^{2}z(U^{a})^{\dagger }(z;\mathbf {x} )\partial _{\mu }U^{a}(z;\mathbf {x} )\,dz$

끈 이론을 통한 해석

남 방정식은 초끈 이론을 통해 해석될 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 다음과 같은 D-막의 배열을 생각하자.

	0	1	2	3	4	…
D3-막	×	×	×	×
D1-막	×				×

여기서 D1-막은 D3-막에 붙어 있다. 또한, D3-막의 수가 $k$, D1-막의 수가 $n$이라고 하고, 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 하자. 그렇다면, 이 상태는 다음과 같이 묘사될 수 있다.

• D3-막 위의 이론은 $\operatorname {SU} (k)$ 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 모든 장이 시간 불변이라면 이는 보고몰니 방정식이다. D1-막은 그 위의 $n$개의 자기 홀극이다.
• D1-막 위의 이론은 (모든 장이 시간 불변이라면) 남 방정식이다. (이 경우, 1차원 공간에서 게이지장을 0이 되게 게이지 고정할 수 있다.)
  • 남 방정식의 ${\mathfrak {su}}(2)$ 지표는 1,2,3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다.
  • 남 방정식의 장 $(T_{1},T_{2},T_{3})$는 D1-막의 1,2,3 방향의 위치에 해당한다. 만약 각 $T_{i}$가 대각 행렬이라면, 그 $n$개의 대각 성분은 $n$개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다.

따라서, 남 방정식과 보고몰니 방정식 사이의 관계는 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

아벨 리 대수의 경우

${\mathfrak {g}}$가 (${\mathfrak {u}}(1)$과 같은) 아벨 리 대수일 경우, 남 방정식은 선형 상미분 방정식이다. 즉,

${\frac {\mathrm {d} T_{i}}{\mathrm {d} z}}=0$

이므로, 그 해는 상수 함수이다.

역사

베르너 남(독일어: Werner Nahm)이 1981년 도입하였다. 이후 사이먼 도널드슨과 나이절 히친 등이 이를 연구하였다.

각주

• Atiyah, Michael Francis; Nigel Hitchin (1988). 《The geometry and dynamics of magnetic monopoles》. Porter Lectures (영어). Princeton University Press. ISBN 978-069108480-0. Zbl 0671.53001. 
• Tong, David (2005). “TASI Lectures on Solitons” (영어). arXiv:hep-th/0509216. Bibcode:2005hep.th....9216T. 
• Bielawski, Roger (2005). “Lie groups, Nahm's equations and hyperkaehler manifolds” (영어). arXiv:math/0509515. Bibcode:2005math......9515B. 
• Biquard, Olivier (1996). “Sur les équations de Nahm et la structure de Poisson des algèbres de Lie semi-simples complexes”. 《Mathematische Annalen》 (프랑스어) 304 (2): 253–276. doi:10.1007/BF01446293. 

외부 링크

• Cherkis, Sergey; Durcan, Brian; Leen, David; McNamee, Dan; Stanley, Jessica; Blair, Chris; O’Byrne, Eoin; Palmer, Sam; Shee, Ronan. “Islands: A project exploring the Nahm equations, monopoles & more” (영어). 2013년 4월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 10월 23일에 확인함.