미정계수법

is 미정계수법(未定係數法, 영어: method of undetermined coefficients)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법으로서, 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식의 풀이에 적합하다.

또한 항등식의 미정계수법은 항등식의 성질을 이용한 수치대입법과 계수비교법 등이 있으며, 방정식의 풀이에 적합하다.

정의

비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left(x\right)$

위의 식은

$y\left(x\right)=y_{h}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)$

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 미정계수법은 $y_{p}\left(x\right)$를 구하는 방법이다.

풀이방법은 다음과 같다.

1. 비제차 상미분 방정식의 $r\left(x\right)$를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해 $y_{h}\left(x\right)$를 구한다.
2. 우항의 $r\left(x\right)$를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 $y_{p}\left(x\right)$

를 구한다.

r(x)의 항	yp(x)에 대한 선택
${\begin{aligned}&ke^{rx}\\&kx^{n}\left(n=0,1,\cdots \right)\\&k\cos \omega x\\&k\sin \omega x\\&ke^{ax}\cos \omega x\\&ke^{ax}\sin \omega x\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&Ce^{rx}\\&K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}\\&\left.{\begin{matrix}{}\\{}\\\end{matrix}}\right\}K\cos \omega x+M\sin \omega x\\&\left.{\begin{matrix}{}\\{}\\\end{matrix}}\right\}e^{ax}\left(K\cos \omega x+M\sin \omega x\right)\\\end{aligned}}$

미정계수법에 대한 선택 규칙

(a)기본규칙

$r\left(x\right)$를 위에서 찾고, 그에 해당되는 $y_{p}\left(x\right)$를 선택하고, 그 도함수를 비제차 방정식에 대입하여 미정계수를 구한다.

(b)변형규칙

(b-1 이계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우)

만약 $y_{p}\left(x\right)$가 제차 상미분 방정식의 해가 된다면, 선택된 $y_{p}$에 $x$혹은 $x^{2}$를 곱한다.

(b-2 고계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우)

만약 $y_{p}\left(x\right)$로 선택한 항이 제차 상미분 방정식의 해라면, $y_{p}\left(x\right)$에 $x^{k}$를 곱하는데, 여기서 $k$는 $x^{k}y_{p}\left(x\right)$가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.

(c)합규칙

만약 $r\left(x\right)$가 여러가지의 합일 때는 각각에 대응하는 함수들의 합으로 $y_{p}$를 선택한다.

항등식의 미정계수법

항등식에서 미정계수법을 이용한 부분분수 분해

${1 \over (x+1)(x+2)}={a \over x+1}-{b \over x+2}={a(x+2) \over (x+1)(x+2)}-{b(x+1) \over (x+2)(x+1)}={a(x+2)-{b(x+1)} \over (x+1)(x+2)}$

$\therefore {1 \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}={a(x+2)-{b(x+1)} \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}$

$\therefore {1}={a(x+2)-b(x+1)}$

${1}=ax+2a-bx-b$

${1}=(a-b)x+(2a-b)$

우변의$x$차항에대한 좌변의 $x$차항은 없으므로 $x$차항의 계수는 $0$, 상수항은$1$이다$(\because$미정계수법중 계수비교법으로 $)$

$(a-b)=0,(2a-b)=1$

$a-b=0$

$a=b\;\;(\because$ 수치대입법으로 $)$

$(2a-a)=1$

$2a-a=1$

$a=1$

계속해서 $a=1,\therefore \;(2\times 1-b)=1$

$2-b=1$

$-b=1-2$

$-b=-1$

$b=1$ 또는,

$a-b=0$

$1-b=0\;\because \;a=1$

$1=b$

$\therefore {1 \over (x+1)(x+2)}={1 \over x+1}-{1 \over x+2}$

참고 문헌

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2. 

외부 링크

• “Undetermined coefficients, method of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.