슈발레-에일렌베르크 대수

추상대수학에서 슈발레-에일렌베르크 대수(Chevalley-Eilenberg代數, 영어: Chevalley–Eilenberg algebra)는 리 대수에 대하여 대응되는 미분 등급 대수이다. 이는 코쥘 쌍대성의 특수한 경우이다.

정의

체 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하자. 또한, ${\mathfrak {g}}$가 유한 차원 $K$-벡터 공간이라고 하자.

그렇다면, 그 쌍대 공간 ${\mathfrak {g}}^{*}$으로 생성되는 자유 외대수

$\bigwedge ({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\bigwedge ^{n}{\mathfrak {g}}^{*}=K\oplus {\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}\oplus \dotsb$

위에 다음과 같은 미분을 다음과 같이 곱 규칙을 통해 정의할 수 있다.

$(\mathrm {d} \alpha )(x,y)=-{\frac {1}{2}}\alpha ([x,y])\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;\alpha \in {\mathfrak {g}}^{*})$

이 연산이 멱영 연산인 것($\mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0$)은 야코비 항등식과 동치이다. 만약 지표를 쓴다면, ${\mathfrak {g}}$의 기저를 $(t_{i})_{i\in I}$, ${\mathfrak {g}}^{*}$의 쌍대 기저를 $(t^{i})^{i\in I}$라고 하고, 구조 상수가

$[t_{i},t_{j}]=f^{i}{}_{jk}t_{i}$

라고 할 때,

$(\mathrm {d} t)^{i}=-{\frac {1}{2}}f^{i}{}_{jk}t^{j}\wedge t^{k}$

이다.

그렇다면, $\textstyle (\bigwedge {\mathfrak {g}}^{*},\mathrm {d} )$는 $K$ 위의 자연수 등급 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 ${\mathfrak {g}}$의 슈발레-에일렌베르크 대수 $\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$라고 한다.

보다 일반적으로, 이 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.

성질

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 리 대수 코호몰로지는 ${\mathfrak {g}}$의 슈발레-에일렌베르크 대수의 (곱셈을 잊은) 공사슬 복합체의 코호몰로지와 같다.

$\operatorname {H} ^{\bullet }({\mathfrak {g}})=\operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}}))$

예

아벨 리 대수

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$에 항상 0인 리 괄호를 주자. 그렇다면, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는 자명한 미분 $\mathrm {d} =0$이 주어진 등급 벡터 공간인 외대수

$\operatorname {CE} (V)=\textstyle \bigwedge V^{*}$

이다.

𝔰𝔲(2)

파울리 행렬로 생성되는 실수 리 대수

${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}\}$

$[\sigma ^{j},\sigma ^{k}]=2\epsilon _{i}{}^{jk}\sigma ^{i}$

의 경우, 그 쌍대 기저

$\sigma _{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}$

에 대하여 미분 연산은 다음과 같다.

$\mathrm {d} \sigma _{i}=-\epsilon _{i}{}^{jk}\sigma _{j}\sigma _{k}$

유리수 호모토피 이론에 따라 이에 대응하는 공간은 3차원 초구인데, 이는 리 군 SU(2)가 매끄러운 다양체로서 3차원 초구와 미분 동형이기 때문이다.

드람 코호몰로지

 이 부분의 본문은 드람 코호몰로지입니다.

매끄러운 다양체 $M$이 주어졌을 때, 그 위의 벡터장 $\operatorname {Vect} (U)=\Gamma (\mathrm {T} M;U)$은 리 미분을 통해 리 대수의 층을 이룬다.

이 경우, 층의 각 단면 공간에 대하여 슈발레-에일렌베르크 대수를 구성할 수 있으며, 이 역시 층을 이룬다. 이 미분 등급 대수의 층은 미분 형식의 층

$\operatorname {\Omega } (-)$

이며, 그 코호몰로지는 드람 코호몰로지이다.

역사

클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Chevalley-Eilenberg algebra”. 《nLab》 (영어).