펜로즈 그림

일반 상대성 이론에서 펜로즈 그림(영어: Penrose diagram)은 시공간의 인과적 구조를 나타내는 도표이다. 시공간을 바일 변환을 통해 유한한 크기로 나타낸다. 바일 변환에 의하여 길이를 왜곡하지만, 인과적 구조(각도)는 왜곡하지 않는다.

펜로즈 그림의 예

민코프스키 공간

민코프스키 공간의 펜로즈 그림

$d+1$ 차원 민코프스키 공간

$ds^{2}=-dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-1}^{2}$

을 다음과 같은 좌표로 적자.

$\tan(u+v)=r+t$

$\tan(u-v)=r-t$

$0\leq u$

$-\pi /2+u<v<\pi /2-u$

즉, $(u,v)$는 긴 변의 길이가 $\pi$인 직삼각형 구역 속에 속한다. 그렇다면 민코프스키 계량은 다음과 같다.

$\cos ^{2}(u+v)\cos ^{2}(u-v)ds^{2}=-dv^{2}+du^{2}+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}(2u)d\Omega _{d-1}^{2}$

즉, 계량에 $\cos ^{2}(u+v)\cos ^{2}(u-v)$를 곱하는 바일 변환을 가하면, 민코프스키 공간은 직삼각형 공간으로 콤팩트화해진다. 직삼각형의 각 점 $(u,v)$은 반지름이 $\sin(2u)/2$인 초구가 붙어 있다.

특히, $d+1=2$인 경우, 0차원 초구는 두 개의 점을 가지므로, 직삼각형을 펼쳐, 펜로즈 그림은 정사각 마름모꼴이 된다.

민코프스키 공간의 등각 무한대는 $u+|v|=\pi /2$인 점들이며, 두 초구뿔을 붙여 놓은 모양이다. 이는 다음과 같이 분류된다.

• 공간 무한대: $(u,v)=(\pi /2,0)$에 붙어 있는 $d-1$차원 초구
• 미래 무한대: $(u,v)=(0,\pi /2)$에 붙어 있는 점
• 과거 무한대: $(u,v)=(0,\pi /2)$에 붙어 있는 점
• 미래 영벡터 무한대: $\{(u,v)|u+v=\pi /2\}$에 붙어 있는 점들. 이는 밑이 초구 $S^{d-1}$인 초구뿔 모양이다.
• 과거 영벡터 무한대: $\{(u,v)|u-v=\pi /2\}$에 붙어 있는 점들. 이는 밑이 초구 $S^{d-1}$인 초구뿔 모양이다.

더 시터르 공간

더 시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더 시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더 시터르 공간의 경우 위상학적으로 $S^{3}\times \mathbb {R}$이므로, 펜로즈 그림에서는 오른쪽 변과 왼쪽 변이 실제 공간에서 각각 하나의 점을 나타내게 된다. (그러나 무한한 미래와 과거를 나타내는 윗변과 아랫변은 그렇지 않다.)

반 더 시터르 공간

$d+1$차원 반 더 시터르 공간의 펜로즈 그림은 더 시터르 공간의 펜로즈 그림과 유사하지만, 윗변·아랫변이 한 점만을 포함하며 오른·왼변의 각 점은 초구 $S^{d-1}$를 나타낸다. 즉, 그 등각 경계는 $S^{d-1}\times \mathbb {R}$이며, 이는 원점을 제거한 민코프스키 공간 $\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$과 바일 변환으로 동치이다.

• 공간 무한대: $S^{d-1}\times \mathbb {R}$
• 미래 무한대: 하나의 점
• 과거 무한대: 하나의 점

블랙홀

커 블랙홀의 펜로즈 그림

점근적으로 민코프스키인 실재 블랙홀의 펜로즈 그림. 내부의 검은 대각선은 블랙홀의 사건 지평선이다. 블랙홀은 유한한 시간에서 호킹 복사를 통해 증발하여 없어진다 (붉은 물결선).

슈바르츠실트 계량이나 커 계량의 펜로즈 그림은 매우 복잡한 형상을 보인다. 이 경우, 블랙홀 밖의 실제 우주의 등각 무한대 말고도 블랙홀 내부의 반대편에 존재하는 화이트홀 등의 등각 확장이 존재한다.

실재하는 (즉, 어떤 유한한 과거에서 생성된) 블랙홀은 이러한 복잡한 구조를 갖지 않는다.

역사

브랜든 카터(Brandon Carter)와 로저 펜로즈 가 1960년대에 도입하였다.

참고 문헌

• Frauendiener, Jörg (2004). “Conformal infinity”. 《Living Reviews in Relativity》 (영어) 7: 1. doi:10.12942/lrr-2004-1. ISSN 1433-8351. 

같이 보기

• 인과관계
• 인과 구조
• 바일 변환

외부 링크

• Distler, Jacques (2009년 6월 17일). “Penrose diagram follies”. 《Musings: Thoughts on Science, Computing, and Life on Earth》 (영어).