핀슬러 다양체
미분기하학에서 핀슬러 다양체(영어: Finsler manifold)는 리만 다양체의 일반화이다. 각 접공간 위에 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이 주어진 리만 다양체와 달리, 대신 (일반화) 노름이 주어진다.
정의[편집]
매끄러운 다양체 위의 접다발 위의 핀슬러 함수(영어: Finsler function)는 다음 조건을 만족시키는 함수
이다.
핀슬러 함수를 갖춘 매끄러운 다양체 를 핀슬러 다양체라고 한다.
만약 핀슬러 다양체 에 대하여, 임의의 에 대하여 라면 이를 가역 핀슬러 다양체(영어: reversible Finsler manifold)라고 한다. 가역 핀슬러 함수는 다양체의 각 접공간 위에 노름을 정의한다.
거리와 측지선[편집]
핀슬러 다양체 위의 매끄러운 곡선 의 길이(영어: length)는 다음과 같다.
곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 미분 동형 에 대하여, 이다.
임의의 두 점 사이의 거리(영어: distance) 는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.
그렇다면, 는 길이 거리 공간을 이룬다. 따라서, 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 다음과 같은 에너지 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킨다.
기본 텐서[편집]
핀슬러 다양체 가 주어졌을 때, 의 접공간 방향의 헤세 행렬은 위에 다음과 같은 대칭 (0,2)-텐서 를 이루며, 이를 기본 텐서(영어: fundamental tensor)라고 한다.
이는 접공간 방향에서 무게 0으로 동차이므로, 이는 사실 사영 접다발
위에 정의된다. 반대로, 동차 함수에 대한 오일러 정리에 따라서
가 된다. 즉, 기본 텐서로부터 핀슬러 구조 전체를 재구성할 수 있다.
기본 형식이 위에서 양의 정부호라면, 를 강하게 볼록 핀슬러 다양체(영어: strongly convex Finsler manifold)라고 한다. 일부 문헌에서는 핀슬러 다양체의 정의에 강한 볼록성 조건을 추가하기도 한다.
힐베르트 형식[편집]
핀슬러 다양체 의 사영 접다발 위에 다음과 같은 힐베르트 형식(영어: Hilbert form)이라는 1차 미분 형식을 정의할 수 있다.
예[편집]
모든 리만 다양체 는 다음과 같은 핀슬러 함수로 자연스럽게 핀슬러 다양체를 이룬다.
반대로, 리만 계량을 핀슬러 함수로부터 재구성할 수 있다. 따라서, 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 개념의 일반화이다.
란데르스 다양체[편집]
리만 다양체 위에 1차 미분 형식 이 주어졌으며, 또한
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함수는 핀슬러 함수를 이룬다.
이러한 꼴의 핀슬러 다양체를 란데르스 다양체(영어: Randers manifold)라고 한다. 이는 노르웨이의 군나르 란데르스(노르웨이어: Gunnar Randers)가 도입하였다.[1]
복소다양체 위의 계량[편집]
복소다양체 위의 카라테오도리 계량과 고바야시 계량은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다.
역사[편집]
독일의 수학자 파울 핀슬러(독일어: Paul Finsler, 1894~1970)가 1918년 박사 학위 논문에서 연구하였다.[2] 이후 1933년에 엘리 카르탕이 "핀슬러 공간"(프랑스어: espace de Finsler)이라는 용어를 도입하였다.[3]
참고 문헌[편집]
- ↑ Randers, Gunnar (1941). “On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity”. 《Physical Review》 (영어) 59 (2): 195–199. doi:10.1103/PhysRev.59.195.
- ↑ Finsler, Paul (1918). 《Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen》. 괴팅겐 대학교 박사 학위 논문 (지도 교수 콘스탄티노스 카라테오도리). O. Füssli. JFM 46.1131.02.
- ↑ Cartan, Élie (1933). “Sur les espaces de Finsler”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 196: 582–586. Zbl 0006.22501.
- Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). 《An introduction to Riemann–Finsler geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 200. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. ISSN 0072-5285.
- Rund, Hanno (1959). 《The differential geometry of Finsler spaces》. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 101. Springer. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. ISSN 0072-7830.
- Shen, Zhongmin (2001). 《Lectures on Finsler geometry》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/4619. ISBN 978-981-02-4530-6.
- Chern, Shiing-Shen (1996년 9월). “Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 43 (9): 959–963.
- Bao, David; Bryant, Robert L.; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2010년 9월). 《A sampler of Riemann–Finsler geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052116873-1.
외부 링크[편집]
- “Finsler geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Finsler space, generalized”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Finsler space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Finsler metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hodge's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Shen, Z. “Home page of Finsler geometry” (영어).
- Alvarez-Paiva, Juan-Carlos; Berck, Gautier; Vernicos, Constantin. “The (new) Finsler geometry newsletter” (영어).